设函数f（x）=15x2+16x+23，L为曲线C：y=f（x）在点（-1，112）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜-15时，证明：除切点（-1，112）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2

Question

设函数f（x）=(1)/(5x2+16x+23)，L为曲线C：y=f（x）在点（-1，(1)/(12)）处的切线．
（1）求L的方程；
（2）当x＜-(1)/(5)时，证明：除切点（-1，(1)/(12)）之外，曲线C在直线L的下方；
（3）设x₁，x₂，x₃∈R，且满足x₁+x₂+x₃=-3，求f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）=(1)/(5x2+16x+23)，
∴f′(x)＝−(10x+16)/((5x2+16x+23)2)，
∴f′(−1)＝−(1)/(24)．
∴L的方程为y−(1)/(12)＝−(1)/(24)(x+1)，即y＝−(1)/(24)x+(1)/(24)；
（2）证明：要证除切点（-1，(1)/(12)）之外，曲线C在直线L的下方，
只需证明∀x∈(−∞，−1)∪(−1，−(1)/(5))，(1)/(5x2+16x+23)＜−(1)/(24)x+(1)/(24)恒成立．
∵5x²+16x+23＞0，
∴只需证明∀x∈(−∞，−1)∪(−1，−(1)/(5))，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立即可．
设g(x)＝5x3+11x2+7x+1(x≤(1)/(5))，
则g′（x）=15x²+22x+7=（x+1）（15x+7）．
令g′（x）=0，解得x₁=-1，x2＝−(7)/(15)．
当x∈(−∞，−1)，(−(7)/(15)，−(1)/(5))时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈(−1，−(7)/(15))时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴明∀x∈(−∞，−1)∪(−1，−(1)/(5))，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立；
（3）①当x1＜−(1)/(5)，x2＜−(1)/(5)，x3＜−(1)/(5)时，
由（2）知，f(x1)＝(1)/(5x12+16x1+23)≤−(1)/(24)x1+(1)/(24)，
f(x2)＝(1)/(5x22+16x2+23)≤−(1)/(24)x2+(1)/(24)，
f(x3)＝(1)/(5x32+16x3+23)≤−(1)/(24)x3+(1)/(24)．
三式相加得：f(x1)+f(x2)+f(x3)≤−(1)/(24)(x1+x2+x3)+(1)/(8)．
∵x₁+x₂+x₃=-3，
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)≤(1)/(4)，当且仅当x₁=x₂=x₃=-1时取等号．
②当x₁，x₂，x₃中至少有一个大于等于−(1)/(5)时，
不妨设x1≥−(1)/(5)，则5x12+16x1+23＝5(x1+(8)/(5))2+(51)/(5)≥5(−(1)/(5)+(8)/(5))2+(51)/(5)＝20，
∵5x22+16x2+23＝5(x2+(8)/(5))2+(51)/(5)≥(51)/(5)，5x32+16x3+23＝5(x3+(8)/(5))2+(51)/(5)≥(51)/(5)，
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)≤(1)/(20)+(5)/(21)+(5)/(21)＜(1)/(4)．
综上所述，当x₁=x₂=x₃=-1时，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）取到最大值(1)/(4)．