SAT2数学题,有关复数1.Ifi(复数里的那个i)isarootofx^4+2x^3-3x^2+2x-4=0,theproductoftherealrootsisA.-4B.-2C.0D.2E.42.Thenatureoftherootsoftheequation3x^4+4x^3+x-1=0isA.3positiverealrootsand1negativerealroot

Question

SAT2数学题,有关复数
1.If i(复数里的那个i)is a root of x^4+2x^3-3x^2+2x-4=0,the product of the real roots is
A.-4 B.-2 C.0 D.2 E.4
2.The nature of the roots of the equation 3x^4+4x^3+x-1=0is
A.3 positive real roots and 1 negative real root
B.3 negative real roots and 1 positive real root
C.1 negative real root and 3 complex roots
D.1 positive real root,1 negative real root,and 2 complex roots
E.2 positive real roots,1 negative real root,and 1 complex root

Answer 1

1.选A.
由韦达定理,方程的4个根之积为 x1x2x3x4=-4.又因为实系数方程的复根一定成对出现,因此如果i是方程的一个根,-i也一定是方程的一个根.不妨设x1=i,x2=-i,这样x1x2=1,从而x3x4=-4,即方程的两个实根之积为-4.
注:严格来讲,应该验证方程确实有两个实根.若记函数
f(x)=x^4+2x^3-3x^2+2x-4,则f(0)=-40,从而在区间(0,2)内必有一个零点,因此方程的另一个零点也一定是实数,从而方程的两个实根之积为-4.但在本题中,既然题目已经说道有两个实根,那就不必再验证了.
2.选D.
同样利用实系数方程的复根一定成对出现,选项C和E一定不正确.现在仍记
f(x)=3x^4+4x^3+x-1,那么f(x)的导数f'(x)=12x^3+12x^2+1.由观察可知,方程f'(0)=0有且只有一个实零点(直观上可以这样看：当x取向负无穷时,f'(x)小于0,而f'(0)=1>0,这说明f'(x)一定有零点；另一方面,容易看出x>-1时一定有f'(x)>0,所以存在负无穷到-1之间的某个点x0使得f'(x0)=0.但是当x为负时,三次项x^3的增长速度比二次项快,所以f'(x)=0只能达到一次).不妨设该零点为x0,f'(x0)=0,那么x0,f(x)单调递增.这样,由函数的这种单调性质可知,f(x)在实轴上至多只能有两个零点.注意到x00,f(0)