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已知关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;(2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,求k值;(3)在(
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已知关于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,求k值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,求k值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:①当k=0时,方程为x+3=0,所以x=-3,方程有实数根,
②当k≠0时,△=(3k+1)2-4k•3,
=9k2+6k+1-12k,
=9k2-6k+1,
=(3k-1)2≥0,
所以,方程有实数根,
综上所述,无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)令y=0,则kx2+(3k+1)x+3=0,
解关于x的一元二次方程,得x1=-3,x2=−
,
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,
∴k=1;
(3)由(2)得抛物线的解析式为y=x2+4x+3,
配方得y=(x+2)2-1,
∴抛物线的顶点M(-2,-1),
∴直线OD的解析式为y=
x,
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h,
h),
∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h)2+
h,
①当抛物线经过点C时,令x=0,则y=9,
∴C(0,9),
∴h2+
h=9,
解得h=
,
∴当
≤h<
时,平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点;
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时,
由方程组
,
消掉y得,x2+(-2h+2)x+h2+
h-9=0,
∴△=(-2h+2)2-4(h2+
h-9)=0,
解得h=4,
此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意,
综上所述:平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是h=4或
≤h<
.
②当k≠0时,△=(3k+1)2-4k•3,
=9k2+6k+1-12k,
=9k2-6k+1,
=(3k-1)2≥0,
所以,方程有实数根,
综上所述,无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)令y=0,则kx2+(3k+1)x+3=0,
解关于x的一元二次方程,得x1=-3,x2=−
1 |
k |
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,
∴k=1;
(3)由(2)得抛物线的解析式为y=x2+4x+3,
配方得y=(x+2)2-1,
∴抛物线的顶点M(-2,-1),
∴直线OD的解析式为y=
1 |
2 |
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h,
1 |
2 |
∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h)2+
1 |
2 |
①当抛物线经过点C时,令x=0,则y=9,
∴C(0,9),
∴h2+
1 |
2 |
解得h=
−1±
| ||
4 |
∴当
−1−
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4 |
−1+
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4 |
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时,
由方程组
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消掉y得,x2+(-2h+2)x+h2+
1 |
2 |
∴△=(-2h+2)2-4(h2+
1 |
2 |
解得h=4,
此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意,
综上所述:平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是h=4或
−1−
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4 |
−1+
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4 |
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