对于平面直角坐标系xOy中的点P（m，n），定义一种变换：作点P（m，n）关于y轴对称的点P′，再将P′向左平移k（k>0）个单位得到点Pk′，Pk′叫做对点P（m，n）的k阶“ℜ”变换．（1）求P（3

Question

对于平面直角坐标系xOy中的点P（m，n），定义一种变换：作点P（m，n）关于y轴对称的点P′，再将P′向左平移k（k>0）个单位得到点P_k′，P_k′叫做对点P（m，n）的k阶“ℜ”变换．
（1）求P（3，2）的3阶“ℜ”变换后P₃′的坐标；
（2）若直线y=3x-3与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的2阶“ℜ”变换后得到点C，求过A，B，C三点的抛物线M的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线M的对称轴与x轴交于D，若在抛物线M对称轴上存在一点E，使得以E，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，求点E的坐标．

Answer 1

（1）由3阶“ℜ”变换定义：P（3，2）关于y轴对称的点为P'的坐标为（-3，2），再将P'（-3，2）向左平移3个单位得P₃'的坐标P₃'（-6，2）；
（2）当y=0，3x-3=0，解得x=1，则A（1，0）；当x=0，y=3x-3=-3，则B（0，-3）；
由2阶“ℜ”变换定义：A（1，0）关于y轴对称的点为A'的坐标为（-1，0），再将A'（-1，0）向左平移2个单位得P₃'的坐标A₃'（-3，0），则C（-3，0）；
设过A，B，C三点的抛物线M的解析式y=a（x+3）（x-1），
将B（0，-3）代入得a•3•（-1）=-3，解得a=1，
所以抛物线M的解析式为y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-(2)/(2)=-1，则D（-1，0），
而B（0，-3），
∴BD=√(12+32)=√(10)，
若DB=DE=√(10)，如图，则E₁（-1，√(10)），E₂（-1，-√(10)），
若BD=BE，如图，则E₃（-1，-6）；
若ED=EB，如图，E₄B=E₄D，设E₄（-1，t），
则t²=（-1）²+（t+3）²，解得t=-(5)/(3)，则E₄（-1，-(5)/(3)），
综上所述，点E的坐标为（-1，√(10)）、（-1，-√(10)）、（-1，-6）、（-1，-(5)/(3)）．