如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形；（2）求证：四边形EFMN是矩形；（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON

Question

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．

（1）依题意，补全图形；
（2）求证：四边形EFMN是矩形；
（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON=3，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

（1） 如图所示：

（2）证明：∵点E，F分别为OA，OB的中点，
∴EF∥AB，EF=(1)/(2)AB，
同理：NM∥CD，MN=(1)/(2)DC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，
∴EF∥NM，EF=MN，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∵点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD的中点，
∴EO=(1)/(2)AO，MO=(1)/(2)CO，
在矩形ABCD中，AO=CO=(1)/(2)AC，BO=DO=(1)/(2)BD，
∴EM=EO+MO=(1)/(2)AC，
同理可证FN=(1)/(2)BD，
∴EM=FN，
∴四边形EFMN是矩形．

（3） ∵DM⊥AC于点M，
由（2）MO=(1)/(2)CO，
∴DO=CD，
在矩形ABCD中，
AO=CO=(1)/(2)AC，BO=DO=(1)/(2)BD，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵MN∥DC，
∴∠FNM=∠ODC=60°，
在矩形EFMN中，∠FMN=90°．
∴∠NFM=90°-∠FNM=30°，
∵NO=3，
∴FN=2NO=6，FM=3√(3)，MN=3，
∵点F，M分别为OB，OC的中点，
∴BC=2FM=6√(3)，
∴矩形的面积为BC•CD=36√(3)．