抛物线y=-(5/4)x∧2+(17/4)x+1与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点

Question

抛物线y=-(5/4)x∧2+(17/4)x+1与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点

Answer 1

抛物线y=-(5/4)x²+(17/4)x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C（3,0）
1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O,点C重合的情况）,连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.
1).令x=0得y=1,因此A点的坐标为(0,1)；x=3时y=-45/4+51/4+1=10/4=5/2,故B点的坐标
为(3,5/2）；KAB=(5/2-1)/(3-0)=1/2,故AB所在直线的方程为y=(1/2)x+1.
2).S=-(5/4)t²+(17/4)t+1-[(1/2)a+1]=-(5/4)t²+(15/4)t=(5/4)(3-t)t,0≦t≦3.
3).要使BCMN为平行四边形只须CM∥BN,即只须KCM=KBN；KCM=(t/2+1)/(t-3)；
KBN=(-5t²/4+17t/4+1-5/2)/(t-3)=(-5t²/4+17t/4-3/2)/(t-3)；故得等式：
t/2+1=-5t²/4+17t/4-3/2,5t²/4-15t/4+5/2=0,即有t²-3t+2=(t-2)(t-1)=0,故得t₁=1；t₂=2；
即当t=1秒或2秒时BCMN是平行四边形.
t=1时,︱MN︱=-5/4+17/4+1-(1/2+1)=5/2,︱CM︱=√[(3-1)²+(3/2)²]=√(25/4)=5/2；
故︱MN︱=︱CM︱,所以BCMN是菱形.
t=2时,︱MN︱=-5+17/2+1-3/2=3,︱CM︱=√[(3-2)²+2²]=√5；
故︱MN︱≠︱CM︱,所以BCMN不是菱形.