如图1所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L．一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好．轨

Question

如图1所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L．一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．

（1）如图2所示，若轨道左端MP间接一阻值为R的电阻，导体棒在水平向右的恒力F的作用下由静止开始运动．求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小．
（2）如图3所示，若轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值为R的电阻．闭合开关S，导体棒从静止开始运动．求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小．
（3）如图4所示，若轨道左端MP间接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平向右的恒力F的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中的加速度的大小．

Answer 1

（1）导体棒ab向右做加速度减小的加速运动，当安培力与外力F平衡时，导体棒ab达到最大速度v₁，
安培力：BIL=F，
电流：I=(E)/(R)，
感应电动势：E=BLv₁，
解得：v1=(FR)/(B2L2)；
（2）闭合开关后，导体棒ab产生的电动势与电阻R两端的电压相等时，导体棒ab达到最大速度v₂，
根据欧姆定律，有：I=(E)/(R+r)，U=IR，
根据切割公式，有：U=BLv₂，
解得：v2=(ER)/(BL(R+r))；
（3）导体棒ab向右加速运动，在极短时间△t内，导体棒的速度变化△v，根据加速度的定义a=(△v)/(△t)，导体棒产生的电动势变化△E=BL△v，电容器增加的电荷△q=C△E=CBL△v，
根据电流的定义I=(△q)/(△t)，解得I=CBLa，
导体棒ab受到的安培力F_安=BIL=B²L²Ca，
根据牛顿第二定律F-F_安=ma，
解得：a=(F)/(m+CB2L2)；
答：（1）经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小为(FR)/(B2L2)．
（2）经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小为(ER)/(BL(R+r))．
（3）导体棒运动过程中的加速度的大小为(F)/(m+CB2L2)．