已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1的两个极值点为x1，x2，x1∈[-2，-1]，x2∈[1，2]，求f（-1）的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx+1的两个极值点为x₁，x₂，x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]，求f（-1）的取值范围．

Answer 1

∵f（x）=x³+2bx²+cx+1，
∴f′（x）=3x²+4bx+c，
依题意知，方程f′（x）=0有两个根x₁、x₂，
且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]
等价于f′（-2）≥0，f′（-1）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0，
由此得b，c满足的约束条件为

f/(−2)＝12−8b+c≥0

f/(−1)＝3−4b+c≤0

f/(1)＝3+4b+c≤0

f/(2)＝12+8b+c≥0

，
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分，
由题设知f（-1）=2b-c，
由z=2b-c，
将z的值转化为直线z=2b-c在y轴上的截距，
当直线z=2b-c经过点（0，-3）时，z最小，
最小值为：3．
当直线z=2b-c经过点C（0，-12）时，z最大，
最大值为：12，
∴f（-1）的取值范围是：3≤f（-1）≤12．