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已知F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,半焦距为c,直线x=-与x轴的交点为N,满足,设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中.(1)求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围;(2)过A
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已知F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,半焦距为c,直线x=-与x轴的交点为N,满足,设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中.
(1)求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围;
(2)过A、B两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问:点P是否恒在某定直线上运动,请说明理由.
(1)求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围;
(2)过A、B两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问:点P是否恒在某定直线上运动,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由于,
∴
解得a2=2,b2=1,从而所求椭圆的方程为=1.
∵三点共线,而点N的坐标为(-2,0).
设直线AB的方程为y=k(x+2),其中k为直线AB的斜率,依条件知k≠0.
由消去x得,即.
根据条件可知解得,依题意取.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据韦达定理,得,
又由,得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2)
,∴从而
从而消去y2得.
令,则.
由于,所以φ'(λ)<0.
∴φ(λ)是区间上的减函数,从而,
即,∴,解得,而,∴.
故直线AB的斜率的取值范围是.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),则可得切线PA的方程是,
而点A(x1,y1)在此切线上,有即x0x1+2y0y1=x12+2y12,
又∵A在椭圆上,∴有x0x1+2y0y=2,①同理可得x0x2+2y0y2=2.②
根据①和②可知直线AB的方程为,x0x+2y0y=2,而直线AB过定点N(-2,0),∴-2x0=2⇒x0=-1,
因此,点P恒在直线x=-1上运动.
∴
解得a2=2,b2=1,从而所求椭圆的方程为=1.
∵三点共线,而点N的坐标为(-2,0).
设直线AB的方程为y=k(x+2),其中k为直线AB的斜率,依条件知k≠0.
由消去x得,即.
根据条件可知解得,依题意取.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据韦达定理,得,
又由,得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2)
,∴从而
从而消去y2得.
令,则.
由于,所以φ'(λ)<0.
∴φ(λ)是区间上的减函数,从而,
即,∴,解得,而,∴.
故直线AB的斜率的取值范围是.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),则可得切线PA的方程是,
而点A(x1,y1)在此切线上,有即x0x1+2y0y1=x12+2y12,
又∵A在椭圆上,∴有x0x1+2y0y=2,①同理可得x0x2+2y0y2=2.②
根据①和②可知直线AB的方程为,x0x+2y0y=2,而直线AB过定点N(-2,0),∴-2x0=2⇒x0=-1,
因此,点P恒在直线x=-1上运动.
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