在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（2，0）和点B（3，1），且圆心C在直线x-y-3=0上，过点P（0，1）且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点．（1）求圆C的方程，同时求出k的取值范围；

题目详情

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（2，0）和点B（3，1），且圆心C在直线x-y-3=0上，过点P（0，1）且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点．
（1）求圆C的方程，同时求出k的取值范围；
（2）是否存在常数k，使得向量

与

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵A（2，0）和点B（3，1），
∴线段AB中点M(

，

)，斜率kAB＝

1−0

3−2

＝1，
∴线段AB的中垂线方程为y=-x+3．
∵圆心C在直线x-y-3=0上，
∴

y＝−x+3

x−y−3＝0

，
∴圆心C坐标为（3，0）．
半径r=|AC|=1，
∴圆C的方程为（x-3）²+y²=1．
∵直线y=kx+1与圆相交，
∴圆心C到直线的距离d小于半径r．
∴

|3k+1|

1+k2

＜1，
∴−

＜k＜0．
∴圆心C坐标为（3，0），−

＜k＜0．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

(x−3)2+y2＝1

y＝kx+1

，
得：（k²+1）x²+（2k-6）x+9=0，
∴x1+x2＝

6−2k

k2+1

．
∵

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