如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两坐标轴的正半轴交于点E、F．（1）当EF⊥OA时，此时EF=1252412524；（2）求动圆D的半径r的取值范围．

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两坐标轴的正半轴交于点E、F．
（1）当EF⊥OA时，此时EF=

(125)/(24)

(125)/(24)

；
（2）求动圆D的半径r的取值范围．

Answer 1

（1）连接AE、OD，作AB⊥x轴于B，OA与EF垂直于C，如图1，
∵A（4，3），
∴OA=√(42+32)=5，
∵∠EOF=90°，
∴EF为⊙D的直径，
∵EF⊥OA，
∴弧EO=弧EA，CO=AC=(1)/(2)OA=(5)/(2)，
∴EO=EA，
设OE=t，则AE=t，BE=4-t，
在Rt△ABE中，AB=3，
∵AB²+BE²=AE²，
∴3²+（4-t）²=t²，解得t=(25)/(8)，
在Rt△OEC中，CE=√(OE2−OC2)=√(((25)/(8))2−((5)/(2))2)=(15)/(8)，
在Rt△OCD中，设⊙D的半径为r，则OD=r，CD=r-(15)/(8)，
∵DC²+OC²=OD²，
∴（r-(15)/(8)）²+（(5)/(2)）²=r²，解得r=(125)/(48)，
∴EF=2r=(125)/(24)；
故答案为(125)/(24)；
（2）当OA为直径时，动圆D的半径r最小，此时r=(1)/(2)OA=(5)/(2)，
当⊙D与x轴切于点O时，动圆D的半径r最大，如图2，作AH⊥OE，
∵⊙D与x轴相切，
∴EF为⊙D的直径，
∴∠FAO=90°，
∵∠AOH=∠FOA，
∴Rt△OAH∽Rt△OFA，
∴AO：OF=OH：AO，即5：OF=3：5，
∴OF=

作业搜用户 2017-10-30