若函数y=f(x)的图像有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0),证明:y=f(x)是周期函数.

Question

若函数y=f(x)的图像有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0),证明:y=f(x)是周期函数.

Answer 1

有一条对称轴x=a,∴f(x+a) = f(x-a)
一个对称中心(b,0),∴f(x+b) = - f(x-b)
对于任意t
f(t+a+b) = f(t+b-a) (条件一)
= -f(t-b-a) (条件二)
= -f(t-(a+b))
令M=a+b有f(t+M)=-f(t-M)=-f(t-2M+M)=-[-f(t-2M-M)]=f(t-3M)
T=4M=4(a+b)是原函数的一个周期,得证y=f(x)是周期函数.