若不等式8x4+8（a-2）x2-a+5＞0对于任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（12，5）B．（-∞，2）C．（2，+∞）D．（2，5）

Question

若不等式8x⁴+8（a-2）x²-a+5＞0对于任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（(1)/(2)，5）
B．（-∞，2）
C．（2，+∞）
D．（2，5）

Answer 1

令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，则f′（x）=32x³+16（a-2）x=32x(x2+(a−2)/(2))．
①当a≥2时，令f′（x）=0，解得x=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x0单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
因此，当x=0时，f（x）取得极小值，即最小值，由题意f（0）=-a+5＞0，解得a＜5．
∴2≤a＜5．
②当a＜2时，令f′（x）=0，解得x=0，±√((2−a)/(2))．
令f′（x）＞0，解得−√((2−a)/(2))＜x＜0，x＞√((2−a)/(2))；令f′（x）＜0，解得x＜−√((2−a)/(2))，0＜x＜√((2−a)/(2))．
∴函数f（x）在x＝±√((2−a)/(2))时取得极小值．
由题意f（x）=8((2−a)/(2))2+8(a−2)•(2−a)/(2)-a+5＞0，化为2a²-7a+3＜0，解得(1)/(2)＜a＜3．
又a＜2，∴(1)/(2)＜a＜2．
综上可知：a的取值范围是(1)/(2)＜a＜5．
故选A．