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∫∫(ax+by+cz+d)^2dS,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2
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∫∫(ax+by+cz+d)^2dS,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2
▼优质解答
答案和解析
被积函数＝a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+d^2+2abxy+2acxz+2adx+2bcyz+2bdy+2cdz,
由对称性,除了平方项外,其余的项的积分都是0.
另外,由对称性有 曲面积分（x^2）dS＝曲面积分（y^2）dS＝曲面积分（z^2）dS
＝1/3*曲面积分（x^2+y^2+z^2）dS
=1/3*曲面积分（R^2）dS
=4pi*R^4/3.
因此原积分值为
4pi*R^4*(a^2+b^2+c^2)/3+4pi*R^2*d^2.
由对称性,除了平方项外,其余的项的积分都是0.
另外,由对称性有 曲面积分（x^2）dS＝曲面积分（y^2）dS＝曲面积分（z^2）dS
＝1/3*曲面积分（x^2+y^2+z^2）dS
=1/3*曲面积分（R^2）dS
=4pi*R^4/3.
因此原积分值为
4pi*R^4*(a^2+b^2+c^2)/3+4pi*R^2*d^2.
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