如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．点N（a，1）是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的点，若点P是在x轴上且使得PM+PN的长最

Question

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=(k)/(x)（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点 H，且tan∠AHO=2．点N（a，1）是反比例函数y=(k)/(x)（x＞0）图象上的点，若点P是在x轴上且使得PM+PN的长最小，则点P的坐标为

（(17)/(5)，0）

（(17)/(5)，0）

．

Answer 1

把x=0代入y=2x+2得y=2，则A点坐标为（0，2），
在Rt△AOH中，OA=2，tan∠AHO=(OA)/(OH)=2，
∴OH=1，
把x=1代入y=2x+2得y=4，
∴M点坐标为（1，4），
把M（1，4）代入y=(k)/(x)得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=(4)/(x)，
把N（a，4）代入y=(4)/(x)得4a=4，解得a=1，
∴N点坐标为（4，1），
作M点关于x轴的对称点M′，如图，则M′的坐标为（1，-4），
∵点P是在x轴上且使得PM+PN的长最小，
∴点P为直线NM′与x轴的交点，
设直线NM′的解析式为y=mx+n，
把M′（1，-4）、N（4，1）代入得

m+n＝−4

4m+n＝1

，
解得

m＝(5)/(3)

n＝−(17)/(3)

，
∴直线NM′的解析式为y=(5)/(3)x-(17)/(3)，
把y=0代入得(5)/(3)x-(17)/(3)=0，解得x=(17)/(5)，
∴P点坐标为（(17)/(5)，0）．
故答案为（(17)/(5)，0）．