离原点最远的点的条件极值这是一道关于多元函数微分的条件极值里面的问题，满足条件x^3-3xy+y^3=4(x>0,y>0)的点之中，求离原点最远的点。我想的是离原点最远就是(x^2+y^2)^(1/2)的最大值，即x^

Question

离原点最远的点的条件极值
这是一道关于多元函数微分的条件极值里面的问题，
满足条件x^3-3xy+y^3=4(x>0,y>0)的点之中，求离原点最远的点。
我想的是离原点最远 就是(x^2+y^2)^(1/2)的最大值，即x^2+y^2的最大值
又因为x^2+y^2在x,y大于零的时候是单调函数，所以在最远的那个点有极大值？
我就是不知道该怎么把最大值问题换成这个极值问题。
那位九级的大大 你是怎么从234得到那组解的
能不能稍微把过程说一说

Answer 1

l=x^2+y^2.①
x^3-3xy+y^3=4
x^3-3xy+y^3-4=0 .②
λ(x^3-3xy+y^3-4)=0
l=x^2+y^2+λ(x^3-3xy+y^3-4),
l对x的偏导等于0,即2 x + (3 x^2 - 3 y) λ =0,.③
l对y的偏导等于0,即2 y + (-3 x + 3 y^2) λ =0,.④
由②③④得一组解:x=2,y=2,λ=-2/3.
于是当x=2,y=2时,距离平方取极值,此时距离平方为8,距离为2√(2).
三个方程三个未知数,应该可以解的吧.你试试就出来了.
由③④消去λ得(2 y)/(3 (x - y^2)) == -(2 x)/(3 (x^2 - y))
(2 (x - y) (x + y + x y))/(3 (x^2 - y) (x - y^2))=0,即
(x - y) (x + y + x y) =0 ,.⑤
由⑤得当x,y均大于0时,(x + y + x y)>0于是(x-y)=0,
②式x^3-3xy+y^3-4=0中令x=y得(-2 + y) (15/8 + 2 (1/4 + y)^2)=0
于是x=y=2,代入⑤得λ=-2/3.