如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．（1）求证：BF是O的切线；（2）已知圆的半径为1，求EF的长．

Question

如图，AB是 O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作 O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．

（1）求证：BF是 O的切线；
（2）已知圆的半径为1，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，
而OA=OC，
∴四边形AOCD是菱形，
∴△OAD和△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∴∠FOB=60°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴∠FDO=90°，
在△FDO和△FBO中

OD=OB

∠FOD=∠FOB

FO=FO

，
∴△FDO≌△FBO，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是 O的切线；
（2） 在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，
而tan∠FOB=(BF)/(OB)，
∴BF=1×tan60°=√(3)．
∵∠E=30°，
∴EF=2BF=2√(3)．