设总体X～N（μ，σ2），其中μ是已知参数，σ2＞0是未知参数．（X1，X2，…，Xn）是从该总体中抽取的一个样本，（1）求未知参数σ2的极大似然估计量̂σ2；（2）判断̂σ2是否为未知参数σ2的

Question

设总体X～N（μ，σ²），其中μ是已知参数，σ²＞0是未知参数．（X₁，X₂，…，X_n）是从该总体中抽取的一个样本，
（1）求未知参数σ²的极大似然估计量

̂

σ

²；
（2）判断

̂

σ

²是否为未知参数σ²的无偏估计．

Answer 1

（1）．当σ²＞0为未知，而-∞＜μ＜+∞为已知参数时，似然函数为
 L(σ2)＝(2πσ2)−(n)/(2)exp{−(1)/(2σ2)

n

i＝1

(xi−μ)2}
因而lnL(σ2)＝−(n)/(2)ln(2πσ2)−(1)/(2σ2)

n

i＝1

(xi−μ)2  
所以(∂)/(∂σ2)lnL(σ2)＝−(n)/(2σ2)+(1)/(2)

n

i＝1

(xi−μ)2•(1)/(σ4)＝0 
解得σ2＝(1)/(n)

n

i＝1

(Xi−μ)2
因此，σ²的极大似然估计量为

̂

σ

2＝(1)/(n)

n

i＝1

(Xi−μ)2．
（2）．因为X_i～N（μ，σ²），（i=1，2，…，n），
所以(Xi−μ)/(σ)～N（0，1）），（i=1，2，…，n），
所以 E[X_i-μ]=0，D[Xi−μ]＝σ2  ），（i=1，2，…，n），
所以E[(Xi−μ)2]＝[E(Xi−μ)]2+D[Xi−μ]＝σ2），（i=1，2，…，n），
因此，E(

作业帮用户 2016-11-28

问题解析

首先，由正态分布总体的概率密度写出似然函数；然后求出似然函数的极大值即可；最后，根据求出的极大似然估计量

̂

σ

²，将其转化为标准正态分布，求期望即可．

名师点评

本题考点：

最大似然估计法；无偏估计．

考点点评：

此题考查极大似然估计量的求法，采用的常规方法，要熟练掌握，另外，判断无偏估计时，需要先转化成标准正态分布，再计算．

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