已知两条直线L1：2x-3y+2=0,L2：3x-2y+3=0,有一动圆与L1,L2相交,并且L1,L2被圆所截得的弦长分别为26和24

Question

已知两条直线L1：2x-3y+2=0,L2：3x-2y+3=0,有一动圆与L1,L2相交,并且L1,L2被圆所截得的弦长分别为26和24

Answer 1

令圆心G坐标为（x,y）.
设L1与⊙G所交的弦为AB、L2与⊙G所交的弦为CD,再设M、N分别为AB、CD的中点.
显然有：GM⊥AM、GN⊥CN,∴由勾股定理,有：
GA^2＝AM^2＋GM^2、GC^2＝CN^2＋GN^2,而GA＝GC,∴AM^2＋GM^2＝CN^2＋GN^2,
∴GN^2－GM^2＝AM^2－CN^2＝（AB/2）^2－（CD/2）^2＝13^2－12^2＝25,
∴［｜3x－2y＋3｜/√（9＋4）］^2－［｜2x－3y＋2｜/√（4＋9）］^2＝25,
∴（3x－2y）^2＋6（3x－2y）＋9－（2x－3y）^2－4（2x－3y）－4＝25×13,
∴（5x－5y）（x＋y）＋6（3x－2y）－4（2x－3y）＝320,
∴5x^2－5y^2＋18x－12y－8x＋12y＝320,
∴5x^2－5y^2＋10x＝320,∴x^2－y^2＋2x＝64.
∴满足条件的圆心轨迹方程是双曲线x^2－y^2＋2x＝64.