证明:若a1,a2,a3.an是可数集合,则a1*a2*a3...an是可数集合.

Question

证明:若a1,a2,a3.an是可数集合,则a1*a2*a3...an是可数集合.

Answer 1

证明：由a1,a2,a3,……,an是可数集,则可设：
a1={a11,a12,a13,……}；
a2={a21,a22,a23,……}；
……；
an={an1,an2,an3,……}.
于是：a1*a2*……*an=
{(a11,a21,a31,……,an1),——第2指标和为n
(a12,a21,a31,……,an1),(a11,a22,a31,……an1),……,(a11,a21,……,a n-1 1,an2),
——第2指标和为n+1,
(a13,a21,……,an1),……,(a11,a21,……,a n-1 1,an3),(a12,a22,a31,……,an1),……(a11,a21,……a n-2 1,a n-1 2,an2),
——第2指标和为n+2
…… ——第2指标和为m
｝
则a1*a2*a3*……*an是可数个——第2指标和为m（m∈N）——有限集的并,且可以按照上面的方式排序,因此该集合也是可数集.