如图所示的电阻网络中，AC、CB、BD、DA四边形的电阻为r，其余各边的电阻都相等，但阻值未知，测得AB两点之间的总电阻为R．当在C、D两点之间连接一段阻值为R的电阻时，AB两点之间的总电

Question

如图所示的电阻网络中，AC、CB、BD、DA四边形的电阻为r，其余各边的电阻都相等，但阻值未知，测得AB两点之间的总电阻为R．当在C、D两点之间连接一段阻值为R的电阻时，AB两点之间的总电阻R′=___；若将AC、CB、BD、DA四根电阻丝皆换成阻值为2r的电阻，则AB两点之间的总电阻R〞=___．

Answer 1

分析电路图，AB两点之间相当于2r、2r与其余电阻并联，设其余部分的电阻为R₀，
（1）当在C、D两点之间连接一段阻值为R的电阻时，由于电路是网点对称的则C、D两点等势，对电路的电阻变化没有影响；所以总电阻仍为R；
（2）设其余部分的电阻为R₀，由题知，2r、2r与其余电阻并联后的总电阻为R，
则：(1)/(R)=(1)/(2r)+(1)/(2r)+(1)/(R0)，
所以，R₀=(rR)/(r-R)，
当把将AC、CB、BD、DA四根电阻丝皆换成阻值为2r的电阻，R₀不变，
则：(1)/(R″)=(1)/(2r×2)+(1)/(2r×2)+(1)/(R0)，
所以，R″=(2rR0)/(2r+R0)=(2r×(rR)/(r-R))/(2r+(rR)/(r-R))=(2rR)/(2r-R)．
故答案为：R；(2rR)/(2r-R)．