已知函数f(x)=lnx-1/2ax的平方+（a-1）x（a属于r且a不等于0）求（1）函数的单调区间（2）记函数y=F(x)的图像为曲线,设点A（x1,y1）,B（x2,y2）是曲线C上的不同两点,如果在曲线C上存在点M（x0,y0）,

Question

已知函数f(x)=lnx-1/2ax的平方+（a-1）x（a属于r且a不等于0） 求（1）函数的单调区间 （2）记函数y=F(x)的
图像为曲线,设点A（x1,y1）,B（x2,y2）是曲线C上的不同两点,如果在曲线C上存在点M（x0,y0）,使得x0=(x1+x2）/2且曲线在点处的切线平行于直线AB,则称函数F（x）存在“中值相依切线”,试问,函数f（x）是否存在“中值相依切线”,说明理由

Answer 1

(1)f'（x）=（1/x）-ax+a-1=[-ax²+（a-1）x+1]/x=（ax+1）（1-x）/x
于是f'（x）=0的解为-1/a,1,当a＞0时-1/a＜0.
f（x）增区间为（0,1],减区间为（1,正无穷）
当-1＜a＜0时,-1/a＞1,f（x）单调增区间为[1,-1/a],单调减区间为（0,1）和（-1/a,正无穷）
当a=-1时,f（x）单调减区间为（0,正无穷）
当a＜-1时,-1/a＜1,f（x）单调增区间为[-1/a,1],单调减区间为（0,-1/a）和（1,正无穷）
（2）令AB所在直线方程为y=kx+b,g（x）=f（x）-kx-b
则g（x1）=g（x2）=0,g（x1）-g（x2）=lnx1/x2-a(x1²-x2²)/2+(a-1-k)(x1-x2)=0【①】
g'（x）=（1/x）-ax+a-1-k,x0=（x1+x2）/2,g（x0）=0
即2/（x1+x2）-[a（x1+x2）/2]+a-1-k=0【②】
【①②】合并得ln（x1/x2）=2（x1-x2）/（x1+x2）=2[（x1/X2）-1]/[（x1/x2）+1]
令t=x1/x2.则lnt=2（t-1）/（t+1）=2-[4/（t+1）]
令h（t）=lnt+4/（t+1）
h'（t）=（t-1）²/t（t+1）²,于是h（t）为增函数
而h（1）=2,于是t=1是方程的解,即x1=x2.
这与题设不同的两点矛盾.于是函数f（x）不存在“中值相依切线”,