已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx+1，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx+1，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最

Question

已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx+1，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　
已知函数f（x）=e^x，g（x）=lnx+1，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）
A．1
B．2
C．2√(e)-1
D．e²-1

Answer 1

根据题意，f（a）=g（b），
即e^a=lnb+1=ln（be），
∴a=ln（ln（be））；
∴b-a=b-ln（ln（be））
=lne^b-ln（ln（be））
=ln(eb)/(ln(be))
=ln(eb)/(lnb+1)；
∴设h（x）=(eb)/(lnb+1)，
则h′（x）=(eb(lnb+1?(1)/(b)))/((lnb+1)2)；
令h′（x）=0，得lnb+1-(1)/(b)=0，
当b=1时，h′（x）=0；
此时a=ln（ln（1?e））=0，
∴b-a的最小值是1-0=1．
故选：A．