如图，O是△ABC内一点，O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．（1）求证：AB=AC．（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时O的半径．

Question

如图，O是△ABC内一点， O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．

（1）求证：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时 O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵AD、AE是 O的切线，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2） 如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设 O半径为r，

∵四边形DFGE是矩形，
∴∠DFG=90°，
∴DG是 O直径，
∵ O与AB、AC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵OD=OE，OE⊥AC，
∵OD=OE．
∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，
∴AN⊥BC，BN=(1)/(2)BC=6，
在RT△ABN中，AN=√(AB2-BN2)=√(102-62)=8，
∵OD⊥AB，AN⊥BC，
∴∠ADO=∠ANB=90°，
∵∠OAD=∠BAN，
∴△AOD∽△ABN，
∴(OD)/(BN)=(AD)/(AN)，即(r)/(6)=(AD)/(8)，
∴AD=(4)/(3)r，
∴BD=AB-AD=10-(4)/(3)r，
∵OD⊥AB，
∴∠GDB=∠ANB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△GBD∽△ABN，
∴(BD)/(BN)=(GD)/(AN)，即(10-(4)/(3)r)/(6)=(2r)/(8)，
∴r=(60)/(17)，
∴四边形DFGE是矩形时 O的半径为(60)/(17)．