设a,b,c为某三角形三边长,求证a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)小于等于3abc

Question

设a,b,c为某三角形三边长,求证a^2(b+c-a) + b^2(c+a-b) + c^2(a+b-c)小于等于3abc

Answer 1

解一：排序不等式
设a≥b≥c
可知a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),
排序不等式：倒序小于乱序
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)
两式相加
2[a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)]≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)
+ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)
=b^2a+abc-a^2b+c^2b+abc-b^2c+a^2c+abc-c^2a+abc+c^2a-a^2c+abc+a^2b-ab^2+abc+b^2c-bc^2=6abc
所以a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)