在三角形ABC中,角ACB是锐角,点D是射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（2）如果AB不等于AC,角BAC不等于90°,点D在线段BC上运动,当三角形ABC满足一个什么条件时,CF垂直于BC?

Question

在三角形ABC中,角ACB是锐角,点D是射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF
（2）如果AB不等于AC,角BAC不等于90°,点D在线段BC上运动,当三角形ABC满足一个什么条件时,CF垂直于BC?画出相反图形,并说明理由.
（3）若AC=4√2 ,BC=3,在（2）的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值

Answer 1

（1）CF与BD位置关系是垂直,
证明如下：如图（1）
∵AB=AC,∠ACB=45°,
∴∠ABC=45°,
由正方形ADEF得AD=AF,
∵∠DAF=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠FAC,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ACF=∠ABD
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD；

（2）CF⊥BD,（1）中的结论成立,
理由：如图（2）,
过点A作AC⊥AC交BC于点G
∴AC=AG,仿（1）可证：
△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGD=45°,
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BO；
（3）过点A作AQ上BC交CB的延长线于点Q ①如图（3）点D在线段BC上运动时,
∵∠BCA=45°,
可求出AQ=CQ=4,
∴DQ =4-x,
易证△AQD∽△DCP,
∴
∴
②如图（4）,点D在线段BC延长线上运动时,
∵∠BCA=45°,
可求出AQ=CQ=4,
∴DQ=4+x,
过A作AG⊥AC交CB延长线于点G,
则△AGD≌△ACF,
∴∠AGD=∠ACF,
∵∠AGD+∠ACG=90°,
∴∠ACF+∠ACG=90°,
∴CF⊥ BD,
∴△AQD∽△DCP,
CP=3