如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=1200．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线 经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120 ⁰ ．

（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

Answer 1

（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，

∵AO=OB=2，∴B（2，0）。
∵∠AOB=120 ⁰ ，∴∠AOD=30 ⁰ ，∴AD=1，OD= 。
∴A（－1， ）。
将A（－1， ），B（2，0）代入 ，得：
，解得 。
∴这条抛物线的表达式为 。
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，

∵ 。
∴M（1， ），即OE=1，EM= 。
∴ 。∴ 。
∴ 。
（3）过点A作AH⊥x轴于点H ，

∵AH= ，HB=HO＋OB=3，
∴ 。
∴ ，∴ 。
∴ 。
∴要△ABC与△AOM相似，则必须：
① ，或② 。
设点C的坐标为（c，0），则根据坐标和勾股定理，有
AO=2， ， ， 。
①由 得， ，解得 。∴C ₁ （4，0）。
②由 得， ，解得 。∴C ₂ （8，0）。
综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（4，0）或（8，0）。

试题分析：（1）应用三角函数求出点A的坐标，将A，B的坐标代入 ，即可求得a、b，从而求得抛物线的表达式。
（2）应用二次函数的性质，求出点M的坐标，从而求得 ，进而求得∠AOM的大小。
（3）由于可得 ，根据相似三角形的判定，分 ， 两种情况讨论。