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如图(a)所示直角三角板ABC的边长BC=a,AC=b,开始时AB边靠在y轴上,B与坐标原点O重合.今使A点沿y轴负方向朝O点移动,B点沿x轴正方向移动,可知三角板从图(a)所示的初始位置到图(b)
题目详情
如图(a)所示直角三角板ABC的边长BC=a,AC=b,开始时AB边靠在y轴上,B与坐标原点O重合.今使A点沿y轴负方向朝O点移动,B点沿x轴正方向移动,可知三角板从图(a)所示的初始位置到图(b)所示终止位置的过程中,C点的运动轨迹为______(选填:“单方向的直线”、“往返的直线”、“一段圆弧”或“非圆弧状的其他曲线”),C点在此过程中通过的路程为______.
▼优质解答
答案和解析
(1)用平面几何推证C点的轨迹如图2所示,因∠ACB+∠AOB=90°+90°=180°,所以四边形AOBC始终为圆内接四边形.在图中画出四边形AOBC的外接圆,易知AB的中点为其圆心、AB为其直径.连接OC,可得∠COB=∠CAB=定值,说明在B点沿x轴正方向移动时,C点的运动轨迹应该为一条直线.在B点从O点运动到CB与x轴垂直的过程中,OC的长度将逐渐变大.在CB与x轴垂直时,O C刚好变为圆的直径,其长度将达到最大值槡a2+b2.在B点从垂直位置继续沿x轴正方向移动时,O C的长度将逐渐变小,由此可判断C点的运动轨迹为往返的直线.
(2)如图2运动轨迹:C---C'----C'',
C--C',C点运动的路程:s1=
-a;
c‘--c'',C点运动的路程:s2=
-b;
C点在此过程中通过的路程:s=s1+s2=
-a+
-b=2
-a-b.
故答案为:往返的直线;2
-a-b.
(2)如图2运动轨迹:C---C'----C'',
C--C',C点运动的路程:s1=
2 | a2+b2 |
c‘--c'',C点运动的路程:s2=
2 | a2+b2 |
C点在此过程中通过的路程:s=s1+s2=
2 | a2+b2 |
2 | a2+b2 |
2 | a2+b2 |
故答案为:往返的直线;2
2 | a2+b2 |
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