设M，N分别是曲线f（x）=-x3+x2（x<e）与g（x）=alnx（x≥e）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），

Question

设M，N分别是曲线f（x）=-x³+x²（x< √(e)）与g（x）=alnx（x≥ √(e)）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

由题意不妨设N（t，f（t））（t≥√(e)），
由M、N的中点恰好在y轴上得M（-t，t³+t²），
∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，∴

OM

•

0N

=0，
即-t²+f（t）（t³+t²）=0①，
当t≥√(e)时，f（t）=alnt，
代入①式得：-t²+（alnt）（t³+t²）=0，即(1)/(a)=（t+1）lnt，
令h（x）=（x+1）lnx（x≥√(e)），
则h′（x）=lnx+1+(1)/(x)>0，
∴h（x）在[√(e)，+∞）上单调递增，
∵t≥√(e)，∴h（t）≥h（√(e)）=(1)/(2)（e+1，）
∴h（t）的取值范围是[(1)/(2)（e+1），+∞）．
∴对于0<a≤(2)/(e+1)，方程①总有解，则满足条件．
故答案为：（0，(2)/(e+1)]．