（1）讨论函数f(x)＝lnxx2（x∈[e-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．（2）求证：对任意的n∈N*，不等式ln114+ln224+ln334+…+lnnn4＜12e总成立．

Question

（1）讨论函数f(x)＝(lnx)/(x2)（x∈[e^-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式(ln1)/(14)+(ln2)/(24)+(ln3)/(34)+…+(lnn)/(n4)＜(1)/(2e)总成立．

Answer 1

（1）由题意得：f′(x)＝(1−2lnx)/(x3)．令f'（x）=0，得x=√(e)．
当x∈(e−1，√(e))时，f'（x）＞0，故函数f（x）在[e−1，√(e)]上递增；
当x∈(√(e)，e)时，f'（x）＜0，故函数f（x）在[√(e)，e]上递减．
又因为f（e^-1）=-e²，f(√(e))＝(1)/(2e)，f(e)＝(1)/(e2)，所以当k＞(1)/(2e)或k＜-e²时，没有交点；
当k＝(1)/(2e)或−e2≤k＜(1)/(e2)时，有唯一的交点；当

作业帮用户 2017-11-01

问题解析

（1）利用导数判断f（x）在[e−1，

√(e)]上递增，函数f（x）在[√(e)，e]上递减，由此求得函数的值域，从而得到f（x）图象与直线y=k的交点个数．
（2）根据函数的单调性求得f（x）在（0，+∞）上的最大值为(1)/(2e)，x∈（0，+∞）时，(lnx)/(x4)＝(lnx)/(x2)•(1)/(x2)≤(1)/(2e)•(1)/(x2)，
用数学归纳法，结合放缩法证明不等式成立．

名师点评

本题考点：

反证法与放缩法；函数的概念及其构成要素；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．

考点点评：

本题主要考查用放缩法证明不等式，利用导数研究函数的单调性，求函数的值域，用数学归纳法证明不等式，属于难题．

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