设S=根号1+1/1²+1/2²+根号1+1/2²+1/3²+...+根号1+1/2008²+1/2009

Question

设S=根号1+1/1²+1/2²+根号1+1/2²+1/3²+...+根号1+1/2008²+1/2009

Answer 1

问求S的整数部分

[1+1/n-1/(n+1)]²
=[1+1/n(n+1)]²
=1+2/n(n+1)+[1/n(n+1)]²
=1+2/n(n+1)+[1/n-1/(n+1)]²(平方展开)
=1+1/n²+1/(n+1)²
∴S中的根号可以去掉,变成
S＝(1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)+……+(1+1/2008-1/2009)
=2008+1-1/2009
=2009-1/2009
∴S的整数部分是2008
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