水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具图2是一个水车工作的示意图它的直径为3m其中心(即圆心)O距水面1.2m如果水车逆时针匀速旋转旋转一圈的时间是min.在水车轮边缘上取

Question

水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具 图2是一个水车工作的示意图 它的直径为3 m 其中心(即圆心)O距水面1.2m 如果水车逆时针匀速旋转 旋转一圈的时间是 min.在水车轮边缘上取一点P 点P距水面的高度为h(m).

图2

(1)求h与时间t的函数解析式 并作出这个函数的简图.

(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时 所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减慢 函数解析式中的参数又会受到怎样的影响?

Answer 1

活动与解答:不妨设水面的高度为0 当P点旋转到水面以下时 P点距水面的高度为负值.显然 h与t的函数关系是周期函数的关系.

如图2 设水车的半径为R R=1.5 m;水车中心到水面的距离为b b=1.2 m;∠QOP为α;水车旋转一圈所需的时间为T;由已知T= (min)=80(s) 单位时间(s)旋转的角度(rad)为ω ω= = rad/s.

为了方便 不妨从P点位于水车轮与水面交点Q时开始计时(t=0) 在t时刻水车转动的角度为α 如图2所示 ∠QOP=α=ωt= t(rad).

过P点向水面作垂线 交水面于M点 PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线 交PM于N点 ∠QON为φ.

从图中不难看出:

h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①

这是一个由三角函数确定的数学模型.

从图中可以看出:sinφ= 所以φ≈53.1°≈0.295π rad.

把前面已经确定了的参数α φ R和b代入①式 我们就可以得到

h=1.5 sin( t-0.295π)+1.2(m).②

这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式.

因为当P点旋转到53.1°时 P点到水面的距离恰好是1.2(m)

此时t= ≈11.8(s) 故可列表 描点 画出函数在区间［11.8 91.8］上的简图(如图3):

t	11.8	31.8	51.8	71.8	91.8
h=1.5sin( t-0.295π)+1.2	1.2	2.7	1.2	-0.3	1.2

    如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少 将造成水车中心O与水面距离的改变 而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小;水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快 将使周期T减小 转速减慢则使周期T增大.

点评:面对实际问题建立数学模型 是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘 就像这个例题 把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.