（2010•朝阳区二模）已知{an}是递增数列，其前n项和为Sn，a1＞1，且10Sn=（2an+1）（an+2），n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项an；（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N*，使得2（am+an）=ak成立？若存在，写出

Question

（2010•朝阳区二模）已知{a_n}是递增数列，其前n项和为S_n，a₁＞1，且10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设b_n=a_n-(n−3)/(2)，c_n=(2(n+3)an)/(5n−1)，若对于任意的n∈N^*，不等式(√(5)m)/(31(1+(1)/(b1))(1+(1)/(b2))…(1+(1)/(bn)))-(1)/(√(cn+1+n−1))≤0恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵10S_n=（2a_n+1）（a_n+3），
∴10a₁=（2a₁+1）（a₁+2），得2a₁²-5a₁+2=0，
解得a₁=2，或a1＝(1)/(2)．
由于a₁＞1，所以a₁=2．
∵10S_n=（2a_n+1）（a_n+3），∴10S_n=2a_n²+5a_n+2．
故10a_n+1=10S_n+1-10S_n=2a_n+1²+5a_n+1+2-2a_n²-5a_n-2，
整理，得2（a_n+1²-a_n²）-5（a_n+1+a_n）=0，
即（a_n+1+a_n）[2（a_n+1-a_n）-5]=0．
因为{a_n}是递增数列，且a₁=2，故a_n+1+a_n≠0，
因此an+1−an＝(5)/(2)．
则数列{a_n}是以2为首项，(5)/(2)为公差的等差数列．
所以an＝2+(5)/(2)(n−1)＝(1)/(2)(5n−1)．

（Ⅱ）满足条件的正整数m，n，k不存在，证明如下：
假设存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_t，
则5m-1+5n-1=(1)/(2)（5k-1）．
整理，得2m+2n-k=(3)/(5)，①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数m，n，k不存在．

（Ⅲ）b_n=a_n-(n−3)/(2)＝(1)/(2)(5n−1)−(n−3)/(2)＝2n+1，
c_n=(2(n+3)an)/(5n−1)＝(2(n+3))/(5n−1)•(5n−1)/(2)＝n+3．
不等式(√(5)m)/(31(1+(1)/(b1))(1+(1)/(b2))…(1+(1)/(bn)))−(1)/(√(cn+1+n−1))≤0
可转化为

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（Ⅰ）令n=1代入10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），求得a₁的值，根据an＝

s1    n＝1

sn−sn−1 n≥2

，转化为等差数列，可以求得数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）假设存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立，代入数列{a_n}的通项a_n，经过分析得出矛盾，可以得到不存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立，
（Ⅲ）把数列{a_n}的通项a_n代入b_n=a_n-(n−3)/(2)，c_n=(2(n+3)an)/(5n−1)，分离参数，转化为求某个数列的最值问题．

名师点评

本题考点：

数列递推式；数列与不等式的综合．

考点点评：

此题是个难题．考查根据an＝

s1    n＝1

sn−sn−1 n≥2

求数列通项公式，体现了分类讨论的思想．特别是（2）是个开放性的题目，解决策略一般假设存在，由假设出发，经过推理论证得到矛盾，（3）的设置，增加了题目的难度，对于恒成立问题，一般采取分离参数的方法，转化为求最值问题，体现 转化的思想．并根据数列的单调性求数列的最值．

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