如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD的面积为253−244253−244．

Question

如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则四边形ABCD的面积为

(25√(3)−24)/(4)

(25√(3)−24)/(4)

．

Answer 1

如图，以AD为边作正△ADE，
∵△ABC也是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB＝AC

∠BAD＝∠CAE

AD＝AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD=5，
∵∠CDE=∠ADE+∠ADC=60°+30°=90°，
∴CD=√(CE2−DE2)=√(52−32)=4，
过点A作AF⊥CD于F，∵∠ADC=30°，
∴AF=(1)/(2)AD=(3)/(2)，
由勾股定理得，DF=√(32−((3)/(2))2)=(3√(3))/(2)，
∴CF=CD-DF=4-

3

作业帮用户 2017-09-24

问题解析

以AD为边作正△ADE，根据等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，然后求出∠CDE=90°，再利用勾股定理列式求出CD=4，过点A作AF⊥CD于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AF=(1)/(2)AD，利用勾股定理列式求DF，再求出CF，然后利用勾股定理列式求出AC²，然后根据S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD列式计算即可得解．

名师点评

本题考点：

旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评：

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出等边三角形和全等三角形．

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