（2013•盐城二模）若实数a、b、c、d满足a2−2lnab＝3c−4d＝1，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为2(ln2−1)252(ln2−1)25．

Question

（2013•盐城二模）若实数a、b、c、d满足(a2−2lna)/(b)＝(3c−4)/(d)＝1，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为

(2(ln2−1)2)/(5)

(2(ln2−1)2)/(5)

．

Answer 1

∵(a2−2lna)/(b)=(3c−4)/(d)=1，
∴点P（a，b）是曲线f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，当且仅当过曲线y=x²-2lnx上的点P（a，b）且与线y=3x-4平行时．
∵f′（x）=2x-(2)/(x)=(2(x+1)(x−1))/(x)（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴当x=1时，f（x）取得极小值，为1．
作图如下：


∵f′（x）|_x=a=2a-(2)/(a)，直线y=3x-4的斜率k=3，
∴2a-(2)/(a)=3，
∴a=2或a=-(1)/(2)（由于a＞0，故舍去）．
∴b=2²-2ln2=4-2ln2．
设点P（2，4-2ln2）到直线y=3x-4的距离为d，则d²=(|6−(4−2ln2)−4|2)/((√(10))2)=(2(ln2−1)2)/(5)．
∵|PQ|²≥d²=(2(ln2−1)2)/(5)，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值为(2(ln2−1)2)/(5)．
故答案为：(2(ln2−1)2)/(5)．