计算行列式a^n(a-1)^n……（a-n）^na^n-1(a-1)^n-1……（a-n）^n-1……………………………………aa-1……a-n11……1

Question

计算行列式
a^n (a-1)^n …… （a-n）^n
a^n-1 (a-1)^n-1 ……（a-n）^n-1
……………………………………
a a-1 …… a-n
1 1 …… 1

Answer 1

将第1行依次与第2,3,...,n行交换,一直交换到第n行
a^(n-1) (a-1)^(n-1) … (a-n)^(n-1)
...
...
1 1 … 1
a^n (a-1)^n … (a-n)^n
将第1行依次与第2,3,...,n-1行交换,一直交换到第n-1行
a^(n-2) (a-1)^(n-2) … (a-n)^(n-2)
...
...
1 1 … 1
a^(n-1) (a-1)^(n-1) … (a-n)^(n-1)
a^n (a-1)^n … (a-n)^n
如此类似交换,一直交换为:
1 1 … 1
a a-1 … a-n
...
...
a^(n-1) (a-1)^(n-1) … (a-n)^(n-1)
a^n (a-1)^n … (a-n)^n
考虑到交换两行行列式变符号
将行列式的列作同样的交换,得
1 … 1 1
a-n … a-1 a
...
...
(a-n)^(n-1) … (a-1)^(n-1) a^(n-1)
(a-n)^n … (a-1)^n a^n
这样,总的交换次数为偶数,故等式的符号不变.
且此为Vandemonde行列式
D = n!(n-1)!...3!2!1!