某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=253米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E

Question

某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=25√(3)米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

Answer 1

（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=(25)/(cosα)
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=(25)/(sinα)．
又∠EOF=90°，
∴EF═√(OE2+OF2)＝√(((25)/(cosα))2+((25)/(sinα))2)=(25)/(cosαsinα)，
∴l＝OE+OF+EF＝(25)/(cosα)+(25)/(sinα)+(25)/(cosαsinα)
即l＝(25(sinα+cosα+1))/(cosαsinα)．
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=(π)/(6)；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=(π)/(3)．
故此函数的定义域为[(π)/(6)，(π)/(3)]
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l＝(25(sinα+cosα+1))/(cosαsinα)，α∈[(π)/(6)，(π)/(3)]
设sinα+cosα=t，则sinα•cosα＝(t2−1)/(2)，
∴l＝(25(sinα+cosα+1))/(cosαsinα)＝(25(t+1))/((t2−1)/(2))＝(50)/(t−1)
由t=sinα+cosα=

作业帮用户 2017-09-19

问题解析

（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，
OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．
（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l＝(25(sinα+cosα+1))/(cosαsinα)，α∈[(π)/(6)，(π)/(3)]
利用换元，设sinα+cosα=t，则sinα•cosα＝(t2−1)/(2)，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．

名师点评

本题考点：

解三角形的实际应用．

考点点评：

本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．

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