光滑的水平地面上有一小车，木块（可视为质点）在小车上向左滑动到左端时v1=5.0m/s，这时小车速度刚好为零。一颗子弹在此时刻以水平向右速度v0击中木块，子弹和木块作用时间

Question

光滑的水平地面上有一小车，木块（可视为质点）在小车上向左滑动到左端时 v ₁ =5.0m/s，这时小车速度刚好为零。一颗子弹在此时刻以水平向右速度 v ₀ 击中木块，子弹和木块作用时间极短。已知子弹质量为 m ，木块质量为4 m ，小车质量为10 m 。（ g =10m/s ² ）
（1）若子弹穿过木块，穿出时速度为 v ₀ /5，为使木块不从小车左端滑出，子弹速度 v ₀ 应满足什么条件？
（2）若子弹不从木块穿出，木块与小车间动摩擦因数为 μ 。要使木块不从小车右方滑下，则小车至少多长（结果用字母表示）。
（3）若子弹不从木块穿出，已知 v ₀ =40m/s，小车长 L ₀ =2m，动摩擦因数为 μ= 0.2，小车上表面距地面 h =0.2米，求木块离开小车时的速度和木块落地时落地点和子弹击中木块时的位置的水平距离。

Answer 1

（1） v ₀ ≥25m/s
（2） L ≥（ v ₀ -4 v ₁ ) ² /(75 μ g)
（3） S =2.76m

设向左为正方向
（1） mv ₀ -4 mv ₁ = mv ₀ /5+4 mv ₁ ’
v ₀ =5( v ₁ + v ₁ ’)
不从左端滑出则有v ₁ ’≥0
所以有： v ₀ ≥25m/s
（2）子弹射入木块过程，子弹木块组成的系统动量守恒，
有： mv ₀ -4 mv ₁ =5 mv ’
以子弹、木块和小车组成的系统，木块在小车上滑动至相对静止过程中：
由动量守恒有：5 m v ’=15 m v ”
由能量守恒有：5 m v ’ ² /2--15 m v ” ² /2=5 μm g S
车长为 L 有： L ≥ S
解得： L ≥（ v ₀ -4 v ₁ ) ² /(75 μ g)
（3）子弹射入木块过程，子弹木块组成的系统动量守恒，
有： mv ₀ -4 mv ₁ =5 mv ’            解得： v ’ =4m/s
以子弹、木块和小车组成的系统，木块在小车上滑动过程中：
由动量守恒有：5 m v ’=5 m v ₂ +10 m v ₃
由能量守恒有：5 m v ’ ² /2—(5 m v ₂ ² /2+10 mv ₃ ² /2)=5 μm g L
解得： v ₂ ="8/3(m/s)" v ₃ =2/3(m/s)
或： v ₂ ="0m/s  " v ₃ =2m/s(舍)
此过程中木块的位移为： s ₁ =( v ’ ² － v ₂ ² )/2 μ g=20/9m
木块离开小车后作平抛运动： t =(2 h / g )1/2                                    s ₂ = v ₂ t
解得： s ₂ =8/15m
所以块离开小车时的速度和木块落地时落地点和子弹击中木块时的位置的水平距离S：
有： S = s ₁ + s ₂ =124/45m=2.76m