已知正方形ABCD的边长为2，点P是BC上的一点，将△DCP沿DP折叠至△DPQ，若DQ，DP恰好与如图所示的以正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O相切，则折痕DP的长为（）A.233B.433C.235D.435

Question

已知正方形ABCD的边长为2，点P是BC上的一点，将△DCP沿DP折叠至△DPQ，若DQ，DP恰好与如图所示的以正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O相切，则折痕DP的长为（　　）
A. (2)/(3)√(3)
B. (4)/(3)√(3)
C. (2)/(3)√(5)
D. (4)/(3)√(5)

Answer 1

连接OD，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠ADO=∠CDO，
又∵DQ与DP都为圆O的切线，
∴DO平分∠PDQ，即∠PDO=∠QDO，
∴∠ADO-∠QDO=∠CDO-∠PDO，即∠ADQ=∠CDP，
又∵将△DCP沿DP折叠至△DPQ，
∴∠CDP=∠PDQ，
∴∠CDP=∠PDQ=∠ADQ=(1)/(3)∠ADC=30°，
在Rt△PCD中，设CP=x，则DP=2x，CD=2，
根据勾股定理得：DP²=CD²+CP²，即4x²=x²+2²，
解得：x=(2)/(3)√(3)，
∴DP=2x=(4)/(3)√(3)．
故选B．