已知，如图，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，P为BC上一点，以AP为直径的圆O交AB于D，PE∥AB交AC于E，b，c是方程x2+kx+9=0的两根，且（b2+c2）（b2+c2-14）-72=0，锐角B的正弦值等于232．（

Question

已知，如图，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，P为BC上一点，以AP为直径的圆O交AB于D，PE∥AB交AC于E，b，c是方程x²+kx+9=0的两根，且（b²+c²）（b²+c²-14）-72=0，锐角B的正弦值等于(2)/(3)√(2)．
（1）求k的值；
（2）设BD=x，求四边形ADPE的面积为S关于x的函数关系式；
（3）问圆O是否能与BC相切？若能请求出x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵（b²+c²）（b²+c²-14）-72=0，
∴（b²+c²）²-14（b²+c²）-72=0，
解得：b²+c²=18，b²+c²=-4（舍去），
∵b，c是方程x²+kx+9=0的两根，
∴b+c=-k，bc=9，
∴b²+c²=（b+c）²-2bc=18，
即（-k）²-2×9=18，
解得：k=6，k=-6，
∵b+c=-k，c、b是三角形的边长，
∴k=6舍去，
即k=-6；

（2）把k=-6代入方程得：x²-6x+9=0，
解得：x₁=x₂=3，
即b=c=3，
AB=AC=3，
∵AP是直径，
∴∠ADP=90°=∠BDP，
∵sinB=(2)/(3)√(2)，
∴(PD)/(PB)=(2√(2))/(3)，
设PD=2√(2)y，BD=3y，在Rt△BDP中，由勾股定理得：PD²+BD²=PB²，
即(2√(2)y)2+x²=（3y）²，
解得：y=x，
PD=2√(2)x，PB=3x，
过A作AN⊥BC于N，
∵AB=3，sinB=(AN)/(AB)=(2)/(3)√(2)，
∴AN=2

作业帮用户 2016-12-05