已知双曲线的渐近线方程y＝±23x，且过点（3，4），则双曲线的标准方程为y212-x227=1y212-x227=1．

Question

已知双曲线的渐近线方程y＝±(2)/(3)x，且过点（3，4），则双曲线的标准方程为

(y2)/(12)-(x2)/(27)=1

(y2)/(12)-(x2)/(27)=1

．

Answer 1

∵双曲线的渐近线方程y＝±(2)/(3)x，即（y+(2)/(3)x）（y-(2)/(3)x）=0，
∴设双曲线的方程为（y+(2)/(3)x）（y-(2)/(3)x）=λ（λ≠0），即y2−(4)/(9)x2＝λ，
∵点（3，4）在双曲线上，∴42−(4)/(9)×32＝λ，解之得λ=12．
因此，双曲线的方程为y2−(4)/(9)x2＝12，化成标准方程得(y2)/(12)-(x2)/(27)=1．
故答案为：(y2)/(12)-(x2)/(27)=1