初中奥数5＾2-3＾2=8x215^2-3^2=8*279^2-7^2=8*4问：用文字写出上述算式的规律；证明这个规律的正确性.

Question

初中奥数
5＾2-3＾2=8x2
15^2-3^2=8*27
9^2-7^2=8*4
问：用文字写出上述算式的规律；
证明这个规律的正确性.

Answer 1

任意两个奇数的平方的差(大减小),都可以化成8和另一个数的乘积.
如11^2-9^2=8×5,
3^2-1^2=8×1
证明:a^2-b^2=(a+b)×(a-b)
因为a、b都是奇数,可以这样表示a、b的关系：
a=b+2n
所以,a^2-b^2=(a+b)×(a-b)=（b+2n+b）)×(b+2n-b)
=2（b+n）×2n=4n（b+n）
当n=1,b=1时,a、b分别为3、1；4n（b+n）=8
当n＞1,且为奇数时,b+n为偶数,可以写成2m,则
4n（b+n）=4n×2m=8mn
当n＞1,且为偶奇数时,n可以写成2k,则
4n（b+n）=4×2k×（b+n）=8k（b+n）