空间直线与平面证明公理3的推论3如题完整规范证明

Question

空间直线与平面 证明公理3的推论3
如题 完整规范证明

Answer 1

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面.
公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面.
所有的推论是由相应的公理证明的.
证明：
设两直线l和m互相平行,取l上两个点A和B,取m上两个点C和D,
显然任意三点都不共线,否则l和m将会相交,与两直线平行矛盾,
根据公理3,知道
过A、C、D有且只有一个平面,设为平面α；过B、C、D有且只有一个平面 ,设为平面β；
假设两平面α和β不重合,则B在α外,
在同一平面内,永不相交的两条直线叫平行线,
所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条,不妨设为AE,
此时,AB和AE都与CD平行,
与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,
所以D也在α内,此时α和β重合,
即α和β是同一个平面,
即两条平行的直线确定一个平面.