整数数列an满足a(n+2)=a（n+1)-an(n∈N*)若此数列前800项的和是2013,前813项的和是2000,则其前2014项的和为?

Question

整数数列an满足a(n+2)=a（n+1)-an(n∈N*)
若此数列前800项的和是2013,前813项的和是2000,则其前2014项的和为?

Answer 1

∵an+2=an+1-an,
∴an+3=an+2-an+1=an+1-an-an+1=-an,
再令n=n+3得：an+6=-an+3=an
数列的周期为：T=6,
又∵前6项分别为：a1,a2,a2-a1,-a1,-a2,a1-a2
∴每6项和为0,
∵S800=S2=a1+a2=2013,S813=S3=a1+a2+a2-a1=2a2=2000,
∴a2=1000,a1=1013,
∴S2014=S4=a1+a2+a2-a1+（-a1）=2a2-a1=2000-1013=987,
故答案为：987．