已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的体积为205π3（球的体积公式为4π3R3，其中R为球的半径），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则三棱锥P-ABC的体积为（）A.33B.233C.

Question

已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的体积为

(20√(5)π)/(3)（球的体积公式为(4π)/(3)R³，其中R为球的半径），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则三棱锥P-ABC的体积为（　　）

A.

(√(3))/(3)

B.

(2√(3))/(3)

C.

√(3)

D.

(4√(3))/(3)

Answer 1

如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则BC²=2²+1²-2×1×2×cos60°=3，
解得BC=√(3)，∴12+(√(3))2=22．
∴∠ACB=90°．
取AB的中点D，则球心O满足OD⊥平面ABC．
又PA⊥平面ABC，∴三棱锥P-ABC的外接球的球心O为PB的中点．
∴OD=(1)/(2)PA．
由球的体积计算公式可得：(4π)/(3)R³=(20√(5)π)/(3)，解得R=√(5)．
∴OD=√(R2-AD2)=2．
∴PA=4
∴三棱锥P-ABC的体积V=(1)/(3)×S△ABC×PA=(1)/(3)×(1)/(2)×1×√(3)×4=(2√(3))/(3)．
故选：B．