已知(x^2-2x-3)^10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)^2+a3(x-1)^3+……+a20(x-1)^201.求a2

Question

已知(x^2-2x-3)^10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)^2+a3(x-1)^3+……+a20(x-1)^20 1.求a2

Answer 1

令x=1则4^10=a0+0……+0,即a0=4^10
令x=2,则（4-4-3）^10=a0+a1……+a19+a20=3^10 （1）式
令x=0,则（0-0-3）^10=a0-a1……-a19+a20=3^10 （2）式
（1）+（2）=2a0+a2+a4……+a20=2*3^10所以a0+a2+a4+……+a20=2*3^10-4^10
a1+a3+a5+……+a19=(a0+a1……+a19+a20)-(a0+a2+a4+……+a20)=3^10 -(2*3^10-4^10)
=4^10-3^10
(x^2-2x-3)^10=[(x-3)*(x+1)]^10=(x-3)^10*(x+1)^10 (x-3)^10的二次项系数为45*3^8,
一次项系数为-10*3^9,常数项是3^10,(x+1)^10 的二次项系数为45,一次项系数10,常数项是1
a2是展开式的二次项系数,所以a2=45*3^8*1+（-10*3^9*10）+45*3^10=50*3^9,系数的确定根据二项式展开的公式