⊙O的直径AB和弦CD相交与点M,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E、F.AB=26,CD=24,求AE-BF的值.

Question

⊙O的直径AB和弦CD相交与点M,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E、F.AB=26,CD=24,求AE-BF的值.

Answer 1

常规方法：作OH⊥CD,H为垂足.则H为CD中点,则CH=12,连结OC,则OC=13,则OH=5 .∵ AE⊥CD,BF⊥CD,OH⊥CD.∴ AE∥OH∥BF∴AO ：OB = EH ：HF∵ O是AB中点∴ H是EF中点,即 EH=FH .∵Rt△MOH∽Rt△MAB, Rt△MOH∽Rt△MBF .∴OH ：AE=MH ：ME , OH ：BF=MH ：MF∴ AE = OH·ME / MH , BF = OH·MF / MH∴ AE - BF = OH(ME-MF) / MH = 5(ME-MF) / MH而 ME-MF = MH + EH - (FH-MH) = 2MH .∴ AE - BF = OH(ME-MF) / MH = 5(ME-MF) / MH = 5×2 = 10 .