在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是正三角形，且A1A=AB，顶点A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心．（1）求证：AA1⊥BC；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小．

Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，且A₁A=AB，顶点A₁在底面ABC上的射影是△ABC的中心．

（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角的大小．

Answer 1

（1）证明：如图，
∵A₁O⊥底面ABC，∴A₁O⊥BC，
∵△ABC为正三角形，O为底面三角形的中心，
连接AO交BC于D，则AD⊥BC，
又AD∩A₁D=O，∴BC⊥平面A₁AD，
则AA₁⊥BC；
（2） 取B₁C₁的中点D₁，连接A₁D₁，DD₁，
由（1）知，BC⊥平面ADD₁A₁，
∴平面ADD₁A₁⊥平面BB₁C₁C，且平面ADD₁A₁∩平面BB₁C₁C=DD₁，
过A₁作A₁H⊥DD₁，垂足为H，连接BH，
则∠A₁BH为直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角．
设A₁A=AB=2a，可得A1O=(2√(6))/(3)a，
由AD•A₁O=AA₁•A₁H，得A1H=(AD•A1O)/(A1A)=(√(3)a•(2√(6))/(3)a)/(2a)=√(2)a．
在Rt△A₁HB中，sin∠A1BH=(√(2)a)/(2a)=(√(2))/(2)．
∴直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角为45°．