已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．（1）求证：AG2=GE•GF；（2）如果DG=12GB，且AG⊥BF，求cosF．

Question

已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．
（1）求证：AG²=GE•GF；
（2）如果DG=(1)/(2)GB，且AG⊥BF，求cosF．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，∠CDG=∠ADG，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD

∠CDG=∠ADG

DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG，
∵BF∥CD，
∴∠F=∠DCG=∠DAG，
∴△GAE∽△GFA，
∴AG²=GE•GF；
（2）∵BF∥CD，DG=(1)/(2)GB，
∴(CD)/(BF)=(DG)/(BG)=(1)/(2)，
∴BF=2CD=16，AF=8，
∴∠ABD=∠DAG=∠F，
∴△DAG∽△DBA，
∴AD²=DG•BD，
∴DG=(8√(3))/(3)，BG=(16√(3))/(3)，
∴cosF=cos∠ABG=(AB)/(AG)=(√(3))/(2)．