确定常数a,b,c使lim(x→0)(ax-sinx)/∫(上标x,下标b)ln(1+t^2)dt=c求详解..(顺便找个耐心好的肯一直教我高数的大好人==.)

Question

确定常数a,b,c 使lim(x→0) (ax-sinx)/∫(上标x,下标b) ln(1+t^2)dt =c
求详解..
(顺便找个耐心好的肯一直教我高数的大好人= =.)

Answer 1

首先x→0时,ax-sinx趋于0,若要极限存在的话
需要定积分 ∫(上标x,下标b) ln(1+t^2) dt 也等于0,
所以x→0时,b也等于0,
再使用洛必达法则对分子分母同时求导,
原极限= lim(x→0) (a-cosx) / ln(1+x^2)
若要极限存在,显然分子分母都要为0,
即a=cos0=1,
而在x趋于0时,ln(1+x^2)等价于x^2,
所以
原极限=lim(x→0) (1-cosx) / x^2
在x趋于0时,1-cosx 等价于0.5x²
故原极限= lim(x-0) 0.5x²/ x²
= 0.5
即a=1,b=0,c= 0.5